Sebagian besar siswa mengenal translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi secara terpisah.

Namun yang jarang dibahas secara mendalam adalah komposisi transformasi — yaitu gabungan beberapa transformasi sekaligus.

Padahal konsep ini sangat penting dalam:

• Desain grafis

• Animasi

• Arsitektur

• Robotika

• Soal-soal olimpiade matematika

Mari kita bahas secara lengkap dan runtut.

1. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi suatu bangun pada bidang koordinat tanpa mengubah bentuk dasarnya (kecuali dilatasi yang mengubah ukuran).

Jenis transformasi dasar:

1. Translasi (geser)

2. Refleksi (cermin)

3. Rotasi (putar)

4. Dilatasi (perbesar/perkecil)

Fokus kita adalah Dilatasi dan Komposisi Transformasi.

2. Dilatasi (Perkalian Skala)

Pengertian

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun tetapi mempertahankan bentuknya.

Dilatasi memiliki:

• Titik pusat (O)

• Faktor skala (k)

Jika:

• k > 1 → diperbesar

• 0 < k < 1 → diperkecil

• k < 0 → diperbesar dan berlawanan arah

Rumus Dilatasi

Jika titik A(x, y) didilatasi terhadap pusat (0,0) dengan faktor k:

A’(x’, y’) = (k·x, k·y)

Jika pusatnya (a, b):

x’ = a + k(x − a)
y’ = b + k(y − b)

Contoh Soal 1

Titik P(2,3) didilatasi dengan faktor k = 3 terhadap pusat (0,0).

Jawab:

x’ = 3 × 2 = 6
y’ = 3 × 3 = 9

Hasil: P’(6,9)

Contoh Soal 2 (Pusat Bukan Nol)

Titik Q(4,6) didilatasi terhadap pusat (2,2) dengan k = 2.

Gunakan rumus:

x’ = a + k(x − a)
= 2 + 2(4 − 2)
= 2 + 4
= 6

y’ = 2 + 2(6 − 2)
= 2 + 8
= 10

Hasil: Q’(6,10)

3. Komposisi Transformasi

Pengertian

Komposisi transformasi adalah penerapan dua atau lebih transformasi secara berurutan.

Contoh:

• Translasi lalu rotasi

• Refleksi lalu dilatasi

• Rotasi lalu translasi

Urutan sangat penting.

Contoh Soal Komposisi

Titik A(1,2):

Langkah 1: Translasi T(2,3)
A’ = (1+2, 2+3) = (3,5)

Langkah 2: Dilatasi k = 2 terhadap (0,0)
A’’ = (6,10)

Hasil akhir: (6,10)

Jika urutannya dibalik, hasilnya berbeda.

4. Matriks Transformasi (Level SMA)

Transformasi bisa ditulis dalam bentuk matriks.

Dilatasi:

| k 0 |
| 0 k |

Jika dikalikan dengan vektor (x,y):

| kx |
| ky |

Komposisi transformasi dapat dihitung dengan perkalian matriks.

Ini sering muncul di kelas 11–12 dan olimpiade.

5. Cara Cepat Mengerjakan Soal Transformasi

1. Kerjakan langkah demi langkah

2. Jangan gabungkan langsung jika belum paham

3. Gunakan tabel perhitungan

4. Perhatikan urutan operasi

5. Jika pusat bukan (0,0), gunakan rumus lengkap

Trik cepat:
Jika pusat di (0,0), cukup kalikan koordinat dengan k.

6. Soal Cerita (Level Tinggi)

Sebuah segitiga dengan titik:
A(1,1), B(3,1), C(2,4)

Didilatasi dengan k = 2 lalu ditranslasi (−1, 3).

Langkah 1: Dilatasi
A’(2,2)
B’(6,2)
C’(4,8)

Langkah 2: Translasi
A’’(1,5)
B’’(5,5)
C’’(3,11)

7. Latihan Soal

1. Titik (5,−2) didilatasi k = 4 terhadap (0,0).

2. Titik (3,3) didilatasi terhadap (1,1) dengan k = 3.

3. Lakukan translasi (2,−1) lalu dilatasi k = 2 pada titik (1,2).

4. Tentukan hasil rotasi 90° lalu translasi (1,1) pada titik (2,0).

5. Sebuah persegi sisi 2 diperbesar dengan k = 3. Berapa luas baru?

8. Pembahasan Singkat Latihan

1. (20, −8)

2. (7,7)

3. (6,2)

4. (-0,2) → (1,3)

5. Luas awal 4 → setelah dilatasi luas dikali k² → 4 × 9 = 36

9. Kesalahan yang Sering Terjadi

• Salah urutan transformasi

• Salah menghitung pusat

• Lupa bahwa luas berubah dengan k²

• Mengira semua transformasi mengubah ukuran

10. Penerapan di Dunia Nyata

• Desain logo

• Animasi

• Game development

• CAD (Computer Aided Design)

• Robot movement system

Transformasi bukan sekadar materi sekolah — ini dasar grafika komputer.

FAQ

Apa bedanya dilatasi dengan translasi?

Dilatasi mengubah ukuran, translasi hanya menggeser posisi.

Mengapa urutan transformasi penting?

Karena hasil akhirnya berbeda jika urutan ditukar.

Bagaimana jika faktor skala negatif?

Bangun dibalik arah sekaligus diperbesar/diperkecil.

baca artikel sebelumnya:

Matematika Lanjutan – Peluang, Statistik, dan Limit