Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga (Limit Deret Geometri)

By
Fitria Ramadani
-
0
15

Materi ini sering dianggap sulit karena melibatkan konsep tak hingga dan limit. Padahal jika dipahami pola dan logikanya, justru termasuk materi yang sistematis dan mudah diprediksi.

1. Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tetap (r).

Contoh:
2, 6, 18, 54, …

Rasio:
r = 6/2 = 3

2. Rumus Suku ke-n

Jika:

  • a = suku pertama

  • r = rasio

  • n = nomor suku

Rumus:

Un = a · r^(n−1)

Contoh Soal:

Tentukan suku ke-6 dari 3, 6, 12, …

a = 3
r = 2

U6 = 3 × 2^5
= 3 × 32
= 96

3. Pengertian Deret Geometri

Deret adalah penjumlahan dari barisan.

Rumus jumlah n suku pertama:

Sn = a(r^n − 1) / (r − 1), r ≠ 1

Contoh Soal:

Jumlah 4 suku pertama dari 2, 4, 8, …

S4 = 2(2^4 − 1)/(2 − 1)
= 2(16 − 1)
= 30

4. Deret Geometri Tak Hingga

Jika jumlah suku tak hingga dan memenuhi:

|r| < 1

Maka:

S∞ = a / (1 − r)

5. Contoh Deret Tak Hingga

4 + 2 + 1 + 0,5 + …

a = 4
r = 1/2

S∞ = 4 / (1 − 1/2)
= 8

6. Contoh Rasio Negatif

3 − 1,5 + 0,75 − …

a = 3
r = −1/2

S∞ = 3 / (1 − (−1/2))
= 2

7. Aplikasi Deret Tak Hingga

a. Bola Memantul

Bola dijatuhkan dari tinggi 10 m.
Pantulan 1/2 tinggi sebelumnya.

Total jarak:

10 + 2(5 + 2,5 + 1,25 + …)

Deret:
a = 5
r = 1/2

S∞ = 10

Total = 10 + 20 = 30 meter

8. Cara Cepat Mengerjakan

  • Cek dulu |r| < 1

  • Jika ya, langsung gunakan S∞

  • Untuk pantulan → tinggi awal + 2S

  • Perhatikan tanda negatif

9. Latihan Soal

  1. Hitung jumlah tak hingga: 6 + 3 + 1,5 + …

  2. Apakah 2 + 4 + 8 + … konvergen?

  3. Bola dijatuhkan 20 m, rasio 1/3. Total jarak?

  4. Hitung: 5 − 2,5 + 1,25 − …

  5. Jika a = 9 dan r = 0,4, hitung jumlah tak hingga.

10. Jawaban Singkat

  1. 12

  2. Tidak

  3. 40 meter

  4. 10/3

  5. 15

11. Kesalahan Umum

  • Lupa syarat |r| < 1

  • Salah tanda minus

  • Salah menggunakan rumus Sn

FAQ

Apa itu konvergen?
Deret memiliki jumlah tetap.

Mengapa r harus kurang dari 1?
Agar suku makin kecil dan mendekati nol.

Apakah selalu bisa dihitung?
Tidak, hanya jika memenuhi syarat konvergen.

Apakah ini sering keluar UTBK?
Ya, terutama soal limit dan aplikasi.

Apa bedanya Sn dan S∞?
Sn untuk jumlah terbatas, S∞ untuk tak hingga.

baca artikel sebelumnya:

Transformasi Geometri Lanjutan: Dilatasi & Komposisi Transformasi (Materi SMP–SMA)