Program Linear: Strategi Cepat Menentukan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Soal Cerita

Pengertian Program Linear

Program linear adalah metode matematika untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi tujuan dengan syarat-syarat tertentu yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Materi ini sangat penting karena sering digunakan dalam dunia nyata, seperti ekonomi, bisnis, produksi, transportasi, dan pengelolaan sumber daya.

Contoh masalah program linear:

• Menentukan keuntungan maksimum dari penjualan barang

• Menentukan biaya minimum produksi

• Menentukan kombinasi terbaik penggunaan bahan

• Menentukan jumlah produksi agar tidak melebihi kapasitas

Program linear biasanya dipelajari di kelas 11 SMA dan melibatkan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel, grafik, serta evaluasi titik sudut.

Unsur-unsur dalam Program Linear

Ada empat unsur utama dalam program linear:

1. Variabel keputusan
   Biasanya berupa x dan y, yang mewakili jumlah suatu produk atau kegiatan.

2. Fungsi tujuan
   Fungsi yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan, biasanya berbentuk Z = ax + by.

3. Kendala (batasan)
   Berupa pertidaksamaan linear yang membatasi nilai x dan y.

4. Daerah himpunan penyelesaian
   Daerah pada grafik yang memenuhi semua kendala.

Bentuk Umum Program Linear

Misalkan:
Z = ax + by (fungsi tujuan)

Dengan kendala:
px + qy ≤ r
sx + ty ≤ u
x ≥ 0
y ≥ 0

Tujuan: Menentukan nilai maksimum atau minimum dari Z pada daerah yang memenuhi semua kendala.

Langkah-langkah Menyelesaikan Program Linear

1. Tentukan variabel

2. Tuliskan fungsi tujuan

3. Buat sistem pertidaksamaan dari kendala

4. Gambar grafik pertidaksamaan

5. Tentukan daerah penyelesaian

6. Tentukan titik-titik sudut daerah

7. Substitusikan titik sudut ke fungsi tujuan

8. Tentukan nilai maksimum atau minimum

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1:
Seorang pedagang menjual dua jenis kue, A dan B. Setiap kue A memberikan keuntungan Rp2.000 dan kue B memberikan keuntungan Rp3.000. Pedagang tersebut hanya bisa membuat maksimal 20 kue A dan maksimal 15 kue B. Selain itu, jumlah seluruh kue tidak boleh lebih dari 30. Tentukan keuntungan maksimum.

Penyelesaian:

Misalkan:
x = jumlah kue A
y = jumlah kue B

Fungsi tujuan:
Z = 2000x + 3000y

Kendala:
x ≤ 20
y ≤ 15
x + y ≤ 30
x ≥ 0
y ≥ 0

Gambarkan grafik dan tentukan titik sudut daerah penyelesaian:
(0,0), (20,0), (20,10), (15,15), (0,15)

Hitung nilai Z:
Z(0,0) = 0
Z(20,0) = 40.000
Z(20,10) = 70.000
Z(15,15) = 75.000
Z(0,15) = 45.000

Nilai maksimum adalah Rp75.000 pada x = 15 dan y = 15.

Contoh 2

Sebuah pabrik memproduksi meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 3 jam kerja dan setiap kursi membutuhkan 2 jam kerja. Total waktu kerja tersedia 18 jam. Jumlah meja tidak boleh lebih dari 4 unit dan jumlah kursi tidak boleh lebih dari 6 unit. Jika keuntungan meja Rp50.000 dan kursi Rp40.000, tentukan keuntungan maksimum.

Misalkan:
x = meja
y = kursi

Fungsi tujuan:
Z = 50.000x + 40.000y

Kendala:
3x + 2y ≤ 18
x ≤ 4
y ≤ 6
x ≥ 0
y ≥ 0

Titik sudut daerah penyelesaian:
(0,0), (4,0), (4,3), (2,6), (0,6)

Nilai Z:
Z(0,0) = 0
Z(4,0) = 200.000
Z(4,3) = 320.000
Z(2,6) = 340.000
Z(0,6) = 240.000

Keuntungan maksimum Rp340.000 pada x = 2 dan y = 6.

Latihan Soal

1. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 2y dengan kendala:
   x + y ≤ 10
   x ≤ 6
   y ≤ 8
   x ≥ 0, y ≥ 0

2. Tentukan nilai minimum Z = 4x + 5y dengan kendala:
   x + y ≥ 6
   x ≥ 2
   y ≥ 1

3. Tentukan nilai maksimum Z = 5x + 4y dengan kendala:
   2x + y ≤ 12
   x + 2y ≤ 12
   x ≥ 0, y ≥ 0

4. Sebuah toko menjual dua jenis buku. Buku A memberi keuntungan Rp5.000 dan buku B Rp4.000. Toko tersebut hanya bisa menjual maksimal 30 buku A dan 40 buku B, serta total buku tidak boleh lebih dari 50. Tentukan keuntungan maksimum.

5. Tentukan nilai maksimum Z = 2x + 3y dengan kendala:
   x + y ≤ 8
   x ≤ 5
   y ≤ 6

6. Tentukan nilai minimum Z = 6x + 2y dengan kendala:
   x + y ≥ 10
   x ≥ 3
   y ≥ 2

7. Tentukan nilai maksimum Z = 4x + 5y dengan kendala:
   2x + y ≤ 14
   x + 2y ≤ 14

8. Tentukan nilai maksimum Z = 3x + 7y dengan kendala:
   x + y ≤ 12
   x ≤ 8
   y ≤ 10

9. Tentukan nilai maksimum Z = 5x + 3y dengan kendala:
   x + y ≤ 10
   x ≥ 2
   y ≥ 1

10. Tentukan nilai maksimum Z = 2x + 5y dengan kendala:
    x + y ≤ 9
    x ≤ 6
    y ≤ 7

Pembahasan Singkat

1. Z maksimum = 30

2. Z minimum = 34

3. Z maksimum = 36

4. Z maksimum = Rp230.000

5. Z maksimum = 26

6. Z minimum = 28

7. Z maksimum = 49

8. Z maksimum = 84

9. Z maksimum = 34

10. Z maksimum = 41

Cara Cepat Menguasai Program Linear

• Tentukan variabel dan fungsi tujuan dengan jelas

• Buat tabel kendala sebelum menggambar grafik

• Fokus pada titik sudut daerah penyelesaian

• Substitusikan hanya titik sudut ke fungsi tujuan

• Gunakan grafik kasar untuk menghemat waktu

Kesalahan Umum

• Salah menuliskan pertidaksamaan

• Tidak menggambar grafik dengan benar

• Lupa menentukan daerah irisan

• Menguji titik yang bukan titik sudut

Manfaat Program Linear

• Menentukan keuntungan maksimal

• Menentukan biaya minimum

• Mengoptimalkan penggunaan sumber daya

• Digunakan dalam ekonomi dan industri

• Melatih berpikir sistematis

FAQ

Apa itu program linear?
Metode untuk menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi dengan kendala tertentu.

Apa itu fungsi tujuan?
Fungsi yang akan dimaksimalkan atau diminimalkan.

Apa itu kendala?
Batasan berupa pertidaksamaan linear.

Kenapa harus mencari titik sudut?
Karena nilai optimum selalu terjadi di titik sudut daerah penyelesaian.

Apakah program linear hanya untuk soal bisnis?
Tidak, juga untuk berbagai masalah matematika.

Apakah bisa lebih dari dua variabel?
Bisa, tetapi di SMA biasanya dua variabel.

Apa yang terjadi jika daerah kosong?
Tidak ada solusi.

Apa yang terjadi jika daerah tak terbatas?
Solusi optimum bisa tidak ada atau tak hingga.

Bagaimana cara cepat menggambar grafik?
Gunakan titik potong sumbu.

Kenapa program linear penting?
Karena digunakan dalam banyak bidang kehidupan nyata.

baca artikel sebelumnya:

Logika Matematika: Cara Mudah Memahami Pernyataan, Negasi, dan Implikasi Tanpa Bingung