Transformasi Geometri: Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi untuk Kelas 12 SMA

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah proses memindahkan, memutar, membalik, atau memperbesar/memperkecil suatu bangun datar tanpa mengubah bentuk dasarnya. Transformasi ini digunakan untuk memahami hubungan antar bangun dan banyak diterapkan dalam matematika, fisika, desain grafis, arsitektur, serta teknologi komputer.

Dalam transformasi geometri, yang berubah biasanya adalah posisi, arah, atau ukuran, tetapi bentuk dan sifat bangun tetap sama (kecuali pada dilatasi yang mengubah ukuran).

Transformasi geometri terdiri dari empat jenis utama, yaitu:

1. Translasi (pergeseran)

2. Refleksi (pencerminan)

3. Rotasi (perputaran)

4. Dilatasi (perbesaran atau pengecilan)

Keempat transformasi ini sering disebut juga sebagai transformasi dasar geometri dan menjadi materi penting di kelas 12 SMA karena berkaitan erat dengan koordinat, matriks, serta pemahaman ruang dan posisi.

1. Translasi (Pergeseran)

Pengertian Translasi

Translasi adalah transformasi yang menggeser suatu bangun ke arah tertentu sejauh jarak tertentu tanpa mengubah bentuk, ukuran, dan orientasinya.

Jika suatu titik $A(x,y)$ ditranslasikan sejauh $a$ satuan ke kanan dan $b$ satuan ke atas, maka bayangannya adalah:

A′(x+a,y+b)A'(x+a, y+b)A′(x+a,y+b)

Contoh Translasi dalam Kehidupan Sehari-hari

• Menggeser buku dari satu tempat ke tempat lain

• Memindahkan ikon di layar komputer

• Menggeser gambar dalam aplikasi desain

Contoh Soal Translasi

1. Titik A(2, 3) ditranslasikan oleh vektor (4, -2). Tentukan koordinat bayangannya.

Jawaban:

A′(2+4,3−2)=(6,1)A'(2+4, 3-2) = (6, 1)A′(2+4,3−2)=(6,1)

2. Segitiga ABC memiliki titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,2). Jika ditranslasikan oleh vektor (-2, 3), tentukan koordinat bayangan A’, B’, dan C’.

Jawaban:

• A’ = (1-2, 2+3) = (-1, 5)

• B’ = (3-2, 4+3) = (1, 7)

• C’ = (5-2, 2+3) = (3, 5)

2. Refleksi (Pencerminan)

Pengertian Refleksi

Refleksi adalah transformasi yang memantulkan suatu bangun terhadap suatu garis sehingga menghasilkan bayangan yang simetris terhadap garis tersebut. Garis yang digunakan disebut sumbu refleksi.

Jenis refleksi yang sering dipelajari di koordinat Cartesius adalah:

• Refleksi terhadap sumbu x

• Refleksi terhadap sumbu y

• Refleksi terhadap titik pusat (0,0)

• Refleksi terhadap garis y = x

Aturan Refleksi

1. Terhadap sumbu x:

$$(x,y)\to (x,-y)$$

2. Terhadap sumbu y:

$$(x,y)\to (-x,y)$$

3. Terhadap titik pusat (0,0):

$$(x,y)\to (-x,-y)$$

4. Terhadap garis y = x:

$$(x,y)\to (y,x)$$

Contoh Soal Refleksi

1. Tentukan bayangan titik A(4, -3) jika dicerminkan terhadap sumbu x.

Jawaban:

A′(4,3)A'(4, 3)A′(4,3)

2. Titik B(-2, 5) dicerminkan terhadap sumbu y. Tentukan bayangannya.

Jawaban:

B′(2,5)B'(2, 5)B′(2,5)

3. Titik C(6, 2) dicerminkan terhadap titik pusat (0,0).

Jawaban:

C′(−6,−2)C'(-6, -2)C′(−6,−2)

3. Rotasi (Perputaran)

Pengertian Rotasi

Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu bangun terhadap suatu titik pusat dengan sudut tertentu dan arah tertentu (searah atau berlawanan jarum jam).

Dalam koordinat Cartesius, rotasi biasanya dilakukan terhadap titik pusat (0,0).

Aturan Rotasi terhadap Titik Pusat (0,0)

1. Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam:

$$(x,y)\to (-y,x)$$

2. Rotasi 180°:

$$(x,y)\to (-x,-y)$$

3. Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam (atau 90° searah jarum jam):

$$(x,y)\to (y,-x)$$

Contoh Soal Rotasi

1. Titik A(3, 4) diputar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat. Tentukan bayangannya.

Jawaban:

A′(−4,3)A'(-4, 3)A′(−4,3)

2. Titik B(-2, 5) diputar 180° terhadap titik pusat.

Jawaban:

B′(2,−5)B'(2, -5)B′(2,−5)

3. Titik C(6, -1) diputar 270° berlawanan arah jarum jam.

Jawaban:

C′(−1,−6)C'(-1, -6)C′(−1,−6)

4. Dilatasi (Perbesaran dan Pengecilan)

Pengertian Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun menjadi lebih besar atau lebih kecil, tetapi bentuk dan arah tetap sama.

Dilatasi memiliki:

• Pusat dilatasi

• Faktor skala (k)

Jika suatu titik $A(x,y)$ didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala k, maka bayangannya adalah:

A′(kx,ky)A'(kx, ky)A′(kx,ky)

Contoh Soal Dilatasi

1. Titik A(2, 3) didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (0,0). Tentukan bayangannya.

Jawaban:

A′(4,6)A'(4, 6)A′(4,6)

2. Titik B(-4, 6) didilatasikan dengan faktor skala ½ terhadap titik pusat.

Jawaban:

B′(−2,3)B'(-2, 3)B′(−2,3)

3. Segitiga dengan titik P(1,1), Q(2,3), dan R(4,1) didilatasikan dengan faktor skala 3. Tentukan koordinat bayangannya.

Jawaban:

• P’ = (3, 3)

• Q’ = (6, 9)

• R’ = (12, 3)

Contoh Soal Campuran Transformasi

1. Titik A(2, -1) ditranslasikan oleh vektor (3, 4), kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat akhirnya.

Penyelesaian:
Translasi:

$$(2+3,-1+4)=(5,3)$$

Refleksi terhadap sumbu x:

$$(5,-3)$$

Jawaban: (5, -3)

2. Titik B(4, 2) diputar 90° berlawanan arah jarum jam, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2. Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
Rotasi 90°:

$$(4,2)\to (-2,4)$$

Dilatasi:

$$(-4,8)$$

Jawaban: (-4, 8)

Latihan Soal Transformasi Geometri

1. Titik A(3, 5) ditranslasikan oleh vektor (-2, 4). Tentukan bayangannya.

2. Titik B(-4, 6) dicerminkan terhadap sumbu y. Tentukan bayangannya.

3. Titik C(2, -3) diputar 180° terhadap titik pusat. Tentukan bayangannya.

4. Titik D(5, 1) didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik pusat. Tentukan bayangannya.

5. Titik E(6, -2) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangannya.

6. Titik F(3, 4) diputar 270° berlawanan arah jarum jam. Tentukan bayangannya.

7. Titik G(2, 3) ditranslasikan oleh vektor (1, -5), lalu dicerminkan terhadap sumbu x. Tentukan koordinat akhirnya.

8. Titik H(-2, 4) didilatasikan dengan faktor skala ½. Tentukan bayangannya.

9. Titik I(7, 1) diputar 90° searah jarum jam. Tentukan bayangannya.

10. Segitiga dengan titik A(1,2), B(3,4), dan C(5,2) didilatasikan dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat bayangan A’, B’, dan C’.

Cara Mudah Memahami Transformasi Geometri

1. Gunakan bidang koordinat dan gambar grafik
   Menggambar titik dan bayangannya di kertas koordinat membantu memahami perubahan posisi secara visual.

2. Hafalkan aturan dasar tiap transformasi
   Misalnya:

   • Refleksi sumbu x → (x, -y)

   • Rotasi 90° → (-y, x)

   • Dilatasi k → (kx, ky)

3. Kerjakan langkah demi langkah
   Untuk soal campuran, kerjakan satu transformasi dulu sebelum lanjut ke transformasi berikutnya.

4. Gunakan warna berbeda untuk titik asli dan bayangan
   Ini memudahkan membedakan posisi awal dan akhir.

5. Latihan rutin dengan variasi soal
   Semakin sering latihan, semakin cepat mengenali pola transformasi.

6. Hubungkan dengan kehidupan nyata

   • Refleksi → bayangan di cermin

   • Rotasi → jarum jam

   • Translasi → menggeser benda

   • Dilatasi → zoom in dan zoom out pada gambar

FAQ – Transformasi Geometri

1. Apa itu transformasi geometri?
Transformasi geometri adalah proses mengubah posisi, arah, atau ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuk dasarnya (kecuali pada dilatasi yang mengubah ukuran).

2. Apa perbedaan translasi dan refleksi?

• Translasi → menggeser bangun tanpa mengubah arah

• Refleksi → membalik bangun seperti bayangan cermin

3. Apa perbedaan rotasi dan dilatasi?

• Rotasi → memutar bangun dengan sudut tertentu

• Dilatasi → memperbesar atau memperkecil ukuran bangun

4. Apakah hasil transformasi selalu sama bentuknya dengan bangun awal?
Ya, kecuali pada dilatasi yang mengubah ukuran, bentuk tetap sama.

5. Bagaimana cara cepat menyelesaikan soal transformasi?
Hafalkan rumus transformasi dasar, gambar titik di bidang koordinat, dan kerjakan satu langkah demi satu langkah.

Jawaban Latihan Soal

1. (1, 9)

2. (4, 6)

3. (-2, 3)

4. (15, 3)

5. (-2, 6)

6. (4, -3)

7. (3, -2)

8. (-1, 2)

9. (1, -7)

• A’ = (2, 4)

• B’ = (6, 8)

• C’ = (10, 4)

baca artikel sebelumnya:

Vektor Dasar dan Aplikasinya untuk Kelas 10 SMA