Banyak siswa ketika mengerjakan persamaan kuadrat langsung berpikir:
“Pakai rumus ABC.”
Padahal…
Ada cara yang jauh lebih cepat dan elegan.
Namanya Teorema Vieta.
Teorema ini memungkinkan kita mengetahui:
-
Jumlah akar
-
Hasil kali akar
Tanpa perlu menghitung akar satu per satu.
Materi ini sering hanya disebut sekilas di sekolah, padahal sangat kuat dan berguna untuk soal-soal olimpiade maupun ujian tingkat lanjut.
Pengertian Teorema Vieta
Teorema Vieta menyatakan bahwa:
Untuk persamaan kuadrat:
ax² + bx + c = 0
Jika akar-akarnya adalah α dan β, maka:
α + β = −b/a
αβ = c/a
Artinya:
Kita bisa mengetahui jumlah dan hasil kali akar hanya dari koefisiennya.
Mengapa Teorema Vieta Penting?
Karena dalam banyak soal, yang ditanyakan bukan nilai akar, tetapi:
-
Jumlah akar
-
Hasil kali akar
-
Bentuk baru dari akar
Menggunakan rumus ABC sering lebih lama dan rumit.
Dengan Vieta, cukup lihat koefisien.
1. Contoh Dasar Teorema Vieta
Diketahui:
x² − 5x + 6 = 0
Tentukan jumlah dan hasil kali akar.
Di sini:
a = 1
b = −5
c = 6
Gunakan rumus:
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5
αβ = c/a = 6/1 = 6
Jadi:
Jumlah akar = 5
Hasil kali akar = 6
Tanpa mencari akar satu per satu.
2. Membuktikan Teorema Vieta Secara Sederhana
Misalkan:
(x − α)(x − β) = 0
Kita kembangkan:
x² − (α + β)x + αβ = 0
Bandingkan dengan:
ax² + bx + c = 0
Terlihat bahwa:
−(α + β) = b
αβ = c
Jika a ≠ 1, kita bagi semuanya dengan a.
Inilah asal rumus Vieta.
3. Contoh Soal Lanjutan
Diketahui:
2x² − 7x + 3 = 0
Tentukan jumlah dan hasil kali akar.
a = 2
b = −7
c = 3
α + β = −b/a = −(−7)/2 = 7/2
αβ = c/a = 3/2
Jawaban:
Jumlah akar = 7/2
Hasil kali akar = 3/2
4. Soal Tipe Olimpiade Sederhana
Jika akar-akar persamaan:
x² − 4x + 1 = 0
adalah α dan β, tentukan nilai:
α² + β²
Gunakan identitas:
α² + β² = (α + β)² − 2αβ
Langkah:
α + β = 4
αβ = 1
Maka:
α² + β² = 4² − 2(1)
= 16 − 2
= 14
Jawaban: 14
Tanpa mencari akar sama sekali.
5. Membentuk Persamaan Baru dari Akar
Jika diketahui:
Jumlah akar = 6
Hasil kali akar = 8
Maka persamaan kuadratnya:
x² − (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
x² − 6x + 8 = 0
Inilah kekuatan Teorema Vieta.
Cara Mudah Mengingat Teorema Vieta
✔ Jumlah akar = −b/a
✔ Hasil kali akar = c/a
✔ Tanda jumlah selalu kebalikan dari b
✔ Tidak perlu pakai rumus ABC jika hanya ditanya jumlah atau hasil kali
Trik cepat:
“Jumlah itu lawan b, hasil kali itu c.”
Latihan Soal
Coba kerjakan:
-
x² − 9x + 20 = 0 → tentukan jumlah dan hasil kali akar
-
3x² + 5x − 2 = 0 → tentukan jumlah akar
-
Jika α dan β akar dari x² − 6x + 5 = 0, tentukan α² + β²
-
Jika jumlah akar 10 dan hasil kali 21, buat persamaannya
-
Tentukan αβ jika persamaan 4x² − 12x + 9 = 0
Jawaban
-
Jumlah = 9, hasil kali = 20
-
Jumlah = −5/3
-
26
-
x² − 10x + 21 = 0
-
9/4
FAQ
Apakah Teorema Vieta hanya berlaku untuk persamaan kuadrat?
Tidak. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan polinom tingkat lebih tinggi, tetapi rumusnya lebih kompleks.
Kapan sebaiknya menggunakan Vieta?
Gunakan Vieta ketika soal hanya menanyakan jumlah, hasil kali, atau bentuk turunan dari akar.
Apakah Vieta lebih cepat dari rumus ABC?
Ya, terutama jika kita tidak perlu mengetahui nilai akar secara eksplisit.
baca artikel sebelumnya:
Aritmetika Modular Dasar: Konsep, Pola Sisa Pembagian, dan Penerapannya dalam Kehidupan Sehari-hari