Dalam matematika, sering muncul pertanyaan seperti:

• Berapa banyak siswa yang suka Matematika atau IPA?

• Berapa banyak bilangan yang habis dibagi 2 atau 3?

• Berapa banyak orang yang mengikuti dua kegiatan sekaligus?

Masalahnya…

Jika kita menjumlahkan langsung, sering terjadi hitung ganda.

Di sinilah kita membutuhkan Prinsip Inklusi–Eksklusi.

Materi ini jarang dijelaskan secara mendalam di sekolah, padahal sangat penting dalam:

• Kombinatorika

• Peluang

• Statistika

• Olimpiade matematika

Mari kita bahas secara lengkap dan bertahap.

Pengertian Prinsip Inklusi–Eksklusi

Prinsip Inklusi–Eksklusi adalah metode untuk menghitung jumlah anggota gabungan beberapa himpunan dengan cara:

• Menjumlahkan semua anggota

• Mengurangi bagian yang terhitung dua kali

Untuk dua himpunan A dan B:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Artinya:

Jumlah anggota A atau B
= jumlah A + jumlah B − jumlah yang sama di keduanya.

Mengapa Perlu Dikurangi?

Karena anggota yang ada di A dan B dihitung dua kali jika langsung dijumlahkan.

Contoh sederhana:

Jika 10 siswa suka Matematika
dan 8 siswa suka IPA
dan 3 siswa suka keduanya,

Jika dijumlahkan langsung:

10 + 8 = 18 (salah)

Karena 3 siswa terhitung dua kali.

Yang benar:

10 + 8 − 3 = 15 siswa

1. Contoh Soal Dasar

Di sebuah kelas:

15 siswa suka sepak bola
12 siswa suka basket
5 siswa suka keduanya

Berapa siswa yang suka minimal salah satu olahraga?

Gunakan rumus:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

= 15 + 12 − 5
= 22

Jawaban: 22 siswa

2. Prinsip Inklusi–Eksklusi untuk Tiga Himpunan

Jika ada tiga himpunan A, B, dan C:

n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C)
− n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C)

• n(A ∩ B ∩ C)

Mengapa terakhir ditambah?

Karena bagian yang sama di tiga himpunan telah dikurangi terlalu banyak.

3. Contoh Soal Tiga Himpunan

Dalam sebuah kelas:

20 siswa suka Matematika
18 siswa suka IPA
15 siswa suka Bahasa Inggris

5 siswa suka Matematika & IPA
4 siswa suka Matematika & Bahasa Inggris
3 siswa suka IPA & Bahasa Inggris
2 siswa suka ketiganya

Berapa siswa yang suka minimal satu pelajaran?

Langkah:

Jumlah semua:
20 + 18 + 15 = 53

Kurangi irisan dua:
53 − (5 + 4 + 3) = 53 − 12 = 41

Tambahkan irisan tiga:
41 + 2 = 43

Jawaban: 43 siswa

4. Penerapan dalam Bilangan

Contoh:

Berapa banyak bilangan dari 1 sampai 50 yang habis dibagi 2 atau 3?

Langkah 1:
Bilangan habis dibagi 2 → 50 ÷ 2 = 25
Bilangan habis dibagi 3 → 50 ÷ 3 = 16

Langkah 2:
Bilangan habis dibagi 6 (irisan) → 50 ÷ 6 = 8

Gunakan rumus:

25 + 16 − 8 = 33

Jawaban: 33 bilangan

5. Menghindari Kesalahan Umum

Kesalahan yang sering terjadi:

❌ Tidak mengurangi irisan
❌ Lupa menambahkan kembali irisan tiga
❌ Salah menghitung bagian irisan

Tips penting:

Selalu gambar diagram Venn untuk mempermudah visualisasi.

Cara Mudah Memahami Prinsip Inklusi–Eksklusi

✔ Jumlahkan semua
✔ Kurangi yang dihitung dua kali
✔ Tambahkan kembali yang terkurangi berlebihan
✔ Gunakan diagram Venn

Rumus dua himpunan:

A + B − irisan

Rumus tiga himpunan:

Jumlah semua − irisan dua + irisan tiga

Latihan Soal

Coba kerjakan:

1. 30 siswa suka Musik, 25 suka Tari, 10 suka keduanya. Berapa yang suka minimal satu?

2. Dari 1–100, berapa bilangan habis dibagi 4 atau 5?

3. 40 siswa suka Fisika, 35 suka Kimia, 15 suka keduanya. Berapa yang suka tepat satu?

4. Jika n(A)=12, n(B)=9, n(A∩B)=4, berapa n(A∪B)?

5. Dari 1–60, berapa bilangan habis dibagi 3 atau 4?

Jawaban

1. 45

2. 40

3. 45

4. 17

5. 30

FAQ

Apa fungsi prinsip inklusi–eksklusi?

Untuk menghitung jumlah anggota beberapa himpunan tanpa terjadi hitung ganda.

Apakah selalu harus dikurangi?

Untuk dua himpunan, ya, harus dikurangi bagian irisan.

Untuk tiga himpunan, dikurangi lalu ditambah kembali irisan tiga.

baca artikel sebelumnya:

Teorema Vieta Dasar: Cara Cepat Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat Tanpa Mencari Akar