Matematika Kelas 10 SMA: Persamaan Kuadrat

By
Fitria Ramadani
-
0
4

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang memiliki bentuk umum:

ax² + bx + c = 0

dengan:

  • a ≠ 0
  • a, b, c adalah bilangan real

Persamaan ini disebut “kuadrat” karena pangkat tertinggi dari variabel (biasanya x) adalah 2.

Contoh:

  • x² + 5x + 6 = 0
  • 2x² – 4x – 6 = 0

Bentuk Umum dan Unsur Persamaan Kuadrat

Dalam persamaan:

ax² + bx + c = 0

Keterangan:

  • a = koefisien x²
  • b = koefisien x
  • c = konstanta

Contoh:
3x² + 2x – 1 = 0
→ a = 3, b = 2, c = -1

Metode Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada 3 cara utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:

1. Faktorisasi

Metode ini digunakan jika persamaan bisa diuraikan menjadi bentuk:

(x + p)(x + q) = 0

Contoh:

x² + 5x + 6 = 0

Faktorkan:
(x + 2)(x + 3) = 0

Maka:
x = -2 atau x = -3

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Digunakan jika sulit difaktorkan.

Contoh:

x² + 6x + 5 = 0

Langkah:
x² + 6x = -5
Tambahkan (6/2)² = 9

x² + 6x + 9 = 4
(x + 3)² = 4

x + 3 = ±2
x = -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Metode paling umum:

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
aa
bb
cc
-10-8-6-4-2246810-10102030-2.002.00

Contoh:

2x² – 4x – 6 = 0

a = 2, b = -4, c = -6

x = (4 ± √((-4)² – 4(2)(-6))) / 4
x = (4 ± √(16 + 48)) / 4
x = (4 ± √64) / 4
x = (4 ± 8) / 4

Maka:
x = 3 atau x = -1

Diskriminan dalam Persamaan Kuadrat

Diskriminan adalah bagian dari rumus kuadrat:

D = b² – 4ac

Fungsi diskriminan:

  • D > 0 → dua akar berbeda
  • D = 0 → satu akar kembar
  • D < 0 → tidak punya akar real

Contoh:
x² – 4x + 4 = 0
D = 16 – 16 = 0 → akar kembar

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal 1

x² + 7x + 10 = 0

Jawaban:
(x + 5)(x + 2) = 0
x = -5 atau x = -2

Contoh Soal 2

x² – 9 = 0

Jawaban:
(x – 3)(x + 3) = 0
x = 3 atau x = -3

Contoh Soal 3

x² + 4x + 8 = 0

Gunakan rumus:

D = 16 – 32 = -16

Tidak memiliki akar real

Contoh Soal 4

3x² – 12x = 0

Jawaban:
3x(x – 4) = 0
x = 0 atau x = 4

Contoh Soal 5 (Cerita)

Luas suatu persegi panjang adalah 48 cm², panjangnya 2 cm lebih dari lebarnya. Tentukan ukuran panjang dan lebar!

Misal:
Lebar = x
Panjang = x + 2

x(x + 2) = 48
x² + 2x – 48 = 0

(x + 8)(x – 6) = 0

x = 6 (ambil positif)
Panjang = 8

Latihan Soal

  1. x² + 6x + 9 = 0
  2. x² – 5x + 6 = 0
  3. 2x² + 3x – 2 = 0
  4. x² – 2x – 8 = 0
  5. x² + 2x + 5 = 0
  6. 3x² – 3x = 0
  7. x² – 16 = 0
  8. 2x² – 7x + 3 = 0
  9. x² + x – 12 = 0
  10. x² – 10x + 25 = 0

Pembahasan Latihan

  1. x = -3
  2. x = 2 atau 3
  3. x = 1/2 atau -2
  4. x = 4 atau -2
  5. tidak ada akar real
  6. x = 0 atau 1
  7. x = 4 atau -4
  8. x = 3 atau 1/2
  9. x = 3 atau -4
  10. x = 5 (akar kembar)

Grafik Persamaan Kuadrat

Grafik persamaan kuadrat berbentuk parabola.

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
aa
bb
cc
-10-8-6-4-224681020406080100120-8.75, 68.81

Ciri-ciri:

  • a > 0 → terbuka ke atas
  • a < 0 → terbuka ke bawah

Penerapan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat digunakan dalam:

  • Fisika (gerak parabola)
  • Ekonomi (maksimum keuntungan)
  • Teknik (desain struktur)
  • Informatika (algoritma tertentu)

Tips Memahami Persamaan Kuadrat

  • Kuasai faktorisasi dulu
  • Hafalkan rumus ABC
  • Latihan soal rutin
  • Gunakan grafik untuk visualisasi

FAQ (Frequently Asked Questions)

Apa itu persamaan kuadrat?

Persamaan dengan pangkat tertinggi 2.

Kapan pakai rumus ABC?

Saat tidak bisa difaktorkan.

Apa itu diskriminan?

Penentu jenis akar persamaan kuadrat.

Apakah semua persamaan kuadrat punya solusi?

Ya, tapi tidak semua punya solusi real.

Apa itu akar kembar?

Saat dua solusi bernilai sama.

baca artikel sebelumnya:

Matematika Kelas 7 SMP: Operasi Bilangan Bulat