Matematika Kelas 9 SMP: Fungsi Kuadrat dan Grafiknya

Fungsi kuadrat adalah salah satu materi matematika yang penting dan sering muncul dalam soal ujian nasional maupun ujian sekolah. Meskipun konsep dasar fungsi kuadrat diperkenalkan di kelas 8, analisis grafik dan aplikasi lanjutan fungsi kuadrat sering kali jarang dibahas. Memahami fungsi kuadrat dengan baik akan membantu siswa dalam aljabar, geometri analitik, dan persiapan matematika SMA.

Dalam artikel ini, kita akan membahas:

• Pengertian fungsi kuadrat

• Bentuk umum dan sifat-sifat fungsi kuadrat

• Menentukan grafik fungsi kuadrat

• Contoh soal

• Latihan soal

• FAQ

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang bentuk umumnya:

f(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0f(x)=ax2+bx+c,a=0

Di mana:

• $a$ adalah koefisien kuadrat, menentukan arah parabola (naik atau turun)

• $b$ adalah koefisien linear

• $c$ adalah konstanta (titik potong sumbu-y)

Fungsi kuadrat selalu membentuk parabola pada grafik. Arah parabola tergantung pada tanda a:

• $a>0$ → parabola membuka ke atas

• $a<0$ → parabola membuka ke bawah

Sifat-Sifat Fungsi Kuadrat

1. Titik puncak (vertex)
   Titik maksimum atau minimum parabola:

   xv=−b2a,yv=f(xv)x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)xv​=−2ab​,yv​=f(xv​)

2. Sumbu simetri
   Garis vertikal melalui titik puncak: x=xvx = x_vx=xv​

3. Titik potong sumbu-x
   Dihitung dengan rumus kuadrat:

   x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

4. Titik potong sumbu-y
   Dihitung dengan mensubstitusi $x=0\to y=c$

5. Bentuk faktor (factored form)
   Jika $f(x)=a(x-p)(x-q)$, maka p dan q adalah akar fungsi.

Menentukan Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah:

1. Tentukan arah parabola dari tanda $a$.

2. Hitung titik puncak (xv,yv)(x_v, y_v)(xv​,yv​).

3. Hitung titik potong sumbu-x (akar) dan sumbu-y.

4. Plot titik-titik dan gambar parabola simetris terhadap sumbu simetri.

5. Jika diperlukan, tentukan titik tambahan untuk memastikan bentuk parabola.

Contoh Soal

1. Soal 1 – Grafik Sederhana

f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 – 4x + 3f(x)=x2−4x+3

Penyelesaian:

• Koefisien $a=1>0$ → parabola membuka ke atas

• Titik puncak: xv=−(−4)/2=2x_v = -(-4)/2 = 2xv​=−(−4)/2=2

• yv=f(2)=22−4(2)+3=−1y_v = f(2) = 2^2 – 4(2) + 3 = -1yv​=f(2)=22−4(2)+3=−1

• Titik potong sumbu-x: x=4±16−122=1,3x = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = 1, 3x=24±16−12​​=1,3

• Titik potong sumbu-y: $y=c=3$

• Plot titik (1,0), (3,0), (0,3), puncak (2,-1)

2. Soal 2 – Fungsi Kuadrat Negatif

f(x)=−2×2+8x−6f(x) = -2x^2 + 8x – 6f(x)=−2x2+8x−6

Penyelesaian:

• $a=-2<0$ → parabola membuka ke bawah

• Titik puncak: xv=−8/(2⋅−2)=2x_v = -8/(2 \cdot -2) = 2xv​=−8/(2⋅−2)=2

• yv=f(2)=−2(4)+16−6=2y_v = f(2) = -2(4) + 16 – 6 = 2yv​=f(2)=−2(4)+16−6=2

• Titik potong sumbu-x: −2×2+8x−6=0→x2−4x+3=0→x=1,3-2x^2 + 8x -6 = 0 → x^2 -4x +3=0 → x=1,3−2x2+8x−6=0→x2−4x+3=0→x=1,3

• Titik potong sumbu-y: $y=c=-6$

3. Soal 3 – Bentuk Faktor

f(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)f(x) = x^2 – 5x + 6 = (x-2)(x-3)f(x)=x2−5x+6=(x−2)(x−3)

Penyelesaian:

• Titik potong sumbu-x: x = 2,3

• Titik puncak: x_v = -(-5)/2 = 2,5 → y_v = f(2,5) = -0,25

• Plot titik dan gambar parabola simetris

Latihan Soal

1. Tentukan grafik fungsi kuadrat:

f(x)=2×2−4x+1f(x) = 2x^2 – 4x +1f(x)=2x2−4x+1

2. Tentukan titik puncak dan grafik:

f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x -5f(x)=−x2+6x−5

3. Tentukan akar dan puncak parabola:

f(x)=3x2−12x+7f(x) = 3x^2 - 12x + 7f(x)=3x2−12x+7

4. Bentuk faktornya:

f(x)=x2−7x+10f(x) = x^2 -7x +10f(x)=x2−7x+10

5. Tentukan arah parabola, titik potong, dan puncak:

f(x)=−x2+4x+1f(x) = -x^2 + 4x +1f(x)=−x2+4x+1

Tips Menguasai Fungsi Kuadrat

1. Selalu tentukan koefisien a, b, c terlebih dahulu.

2. Gunakan rumus puncak untuk mencari maksimum/minimum.

3. Gunakan rumus kuadrat untuk akar/parabola.

4. Buat diagram titik-titik sebelum menggambar grafik.

5. Latihan soal word problem untuk aplikasi nyata, misal bola dilempar, tinggi proyektil.

FAQ

1. Apa itu fungsi kuadrat?
Fungsi kuadrat adalah fungsi berbentuk f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c dengan a ≠ 0 yang grafiknya parabola.

2. Bagaimana menentukan arah parabola?

• a > 0 → parabola membuka ke atas

• a < 0 → parabola membuka ke bawah

3. Bagaimana menemukan titik puncak?
Gunakan rumus: xv=−b/2ax_v = -b/2axv​=−b/2a dan yv=f(xv)y_v = f(x_v)yv​=f(xv​)

4. Bagaimana menghitung titik potong sumbu-x?
Gunakan rumus kuadrat: x=[−b±b2−4ac]/2ax = [-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}]/2ax=[−b±b2−4ac​]/2a

5. Apakah fungsi kuadrat bisa diterapkan di kehidupan nyata?
Ya, seperti menghitung jarak proyektil, perhitungan ekonomi, dan desain parabola dalam fisika.

baca artikel sebelumnya:

Matematika Kelas 8 SMP: Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) Lanjut