Dalam matematika, kita sering mempelajari barisan dan deret bilangan. Salah satu jenis yang cukup penting adalah barisan geometri, yaitu barisan bilangan yang memiliki perbandingan tetap antara dua suku yang berurutan.
Biasanya siswa mempelajari deret geometri yang memiliki jumlah suku tertentu, misalnya 5 suku atau 10 suku. Namun terdapat konsep lain yang lebih menarik, yaitu deret geometri tak hingga.
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku barisan geometri yang jumlahnya tidak terbatas. Meskipun jumlah sukunya tidak terbatas, dalam kondisi tertentu deret ini tetap memiliki jumlah yang dapat dihitung.
Konsep ini sangat penting karena sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer.
Pada artikel ini kita akan mempelajari pengertian deret geometri tak hingga, rumusnya, contoh soal, serta latihan soal untuk memperdalam pemahaman.
Pengertian Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan dari suku-suku barisan geometri yang jumlahnya tidak terbatas.
Contoh deret geometri tak hingga:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Jika kita perhatikan, setiap suku memiliki rasio yang sama yaitu 1/2.
Meskipun jumlah sukunya tidak berakhir, deret ini memiliki jumlah tertentu yang dapat dihitung.
Namun hal ini hanya berlaku jika nilai rasio memenuhi syarat tertentu.
Syarat Deret Geometri Tak Hingga
Agar suatu deret geometri tak hingga memiliki jumlah tertentu, maka nilai rasio r harus memenuhi syarat berikut:
|r| < 1
Artinya nilai rasio harus berada di antara -1 dan 1.
Jika rasio lebih besar dari 1 atau lebih kecil dari -1, maka deret tersebut tidak memiliki jumlah yang terbatas.
Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Jika:
-
a = suku pertama
-
r = rasio
maka jumlah deret geometri tak hingga adalah:
S = \frac{a}{1-r}
Rumus ini hanya berlaku jika |r| < 1.
Contoh Soal
Contoh Soal 1
Tentukan jumlah deret berikut:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …
Diketahui:
a = 1
r = 1/2
Gunakan rumus:
S = a / (1 − r)
S = 1 / (1 − 1/2)
S = 1 / (1/2)
S = 2
Jadi jumlah deret tersebut adalah 2.
Contoh Soal 2
Tentukan jumlah deret berikut:
3 + 1 + 1/3 + 1/9 + …
Diketahui:
a = 3
r = 1/3
S = a / (1 − r)
S = 3 / (1 − 1/3)
S = 3 / (2/3)
S = 9/2
Jadi hasilnya adalah 4,5.
Contoh Soal 3
Tentukan jumlah deret berikut:
5 + 2,5 + 1,25 + …
Diketahui:
a = 5
r = 1/2
S = a / (1 − r)
S = 5 / (1 − 1/2)
S = 5 / (1/2)
S = 10
Jadi jumlah deret tersebut adalah 10.
Latihan Soal
Coba kerjakan soal berikut.
-
Tentukan jumlah deret:
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + … -
Tentukan jumlah deret:
4 + 2 + 1 + 1/2 + … -
Tentukan jumlah deret:
6 + 3 + 1,5 + … -
Tentukan jumlah deret:
8 + 4 + 2 + … -
Tentukan jumlah deret:
10 + 5 + 2,5 + …
Kunci Jawaban
-
4
-
8
-
12
-
16
-
20
Manfaat Mempelajari Deret Geometri Tak Hingga
Meskipun terlihat seperti konsep matematika yang abstrak, deret geometri tak hingga memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata, seperti:
-
Perhitungan bunga majemuk dalam ekonomi
-
Model peluruhan radioaktif dalam fisika
-
Perhitungan grafik komputer
-
Analisis algoritma dalam ilmu komputer
Karena itu, memahami konsep ini sangat membantu dalam mempelajari matematika tingkat lanjut.
FAQ
Apa itu deret geometri tak hingga?
Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan suku-suku barisan geometri yang jumlahnya tidak terbatas.
Kapan deret geometri tak hingga memiliki jumlah?
Deret tersebut memiliki jumlah jika nilai rasio |r| < 1.
Apa rumus jumlah deret geometri tak hingga?
Rumusnya adalah:
S = a / (1 − r)
Mengapa deret tak hingga bisa memiliki jumlah?
Karena nilai suku-sukunya semakin kecil dan mendekati nol, sehingga totalnya mendekati suatu nilai tertentu.
baca artikel sebelumnya:
Fungsi Invers dan Hubungannya dengan Fungsi Komposisi – Matematika Kelas 10 SMA