Transformasi Geometri (Refleksi, Rotasi, Translasi, dan Dilatasi) – SMP

Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda berpindah tempat, diputar, dicerminkan, atau diperbesar dan diperkecil ukurannya. Contohnya adalah bayangan pada cermin, roda yang berputar, pergeseran gambar di layar, atau zoom pada foto di ponsel. Semua proses tersebut dalam matematika disebut transformasi geometri.

Transformasi geometri merupakan materi penting di tingkat SMP karena melatih siswa memahami perubahan posisi dan bentuk suatu objek tanpa harus mengubah sifat dasarnya. Materi ini juga menjadi dasar bagi pembelajaran geometri lanjutan di SMA, seperti vektor dan matriks transformasi.

Dalam artikel ini, kita akan mempelajari secara lengkap pengertian transformasi geometri, jenis-jenis transformasi yaitu refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi, lengkap dengan rumus, contoh soal, latihan soal, cara mudah memahami, serta FAQ yang sering ditanyakan siswa.

A. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, atau orientasi suatu bangun pada bidang datar dengan aturan tertentu. Hasil dari transformasi disebut bayangan, sedangkan bangun semula disebut bangun asal.

Secara umum, transformasi geometri meliputi:

1. Refleksi (pencerminan)

2. Rotasi (perputaran)

3. Translasi (pergeseran)

4. Dilatasi (perbesaran atau pengecilan)

Keempat jenis transformasi ini sering digunakan untuk menggambarkan pergerakan objek di bidang koordinat dan memecahkan berbagai soal geometri.

B. Refleksi (Pencerminan)

1. Pengertian Refleksi

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan suatu bangun dengan cara mencerminkannya terhadap suatu garis atau sumbu tertentu, sehingga jarak titik ke garis cermin sama dengan jarak bayangannya ke garis tersebut, tetapi berada di sisi berlawanan.

Contoh dalam kehidupan sehari-hari:

• Bayangan wajah di cermin

• Pantulan benda di permukaan air

2. Rumus Refleksi pada Koordinat Kartesius

Jika titik asal adalah A(x, y), maka bayangannya adalah:

---

3. Contoh Soal Refleksi

Contoh 1:
Titik A(3, −2) dicerminkan terhadap sumbu-X. Tentukan koordinat bayangannya.

Penyelesaian:
Refleksi terhadap sumbu-X: (x, −y)
Maka A′ = (3, 2)

Contoh 2:
Titik B(−4, 5) dicerminkan terhadap sumbu-Y.

Penyelesaian:
Refleksi terhadap sumbu-Y: (−x, y)
Maka B′ = (4, 5)

4. Cara Mudah Refleksi

• Terhadap sumbu-X → tanda y dibalik

• Terhadap sumbu-Y → tanda x dibalik

• Terhadap titik pusat → tanda x dan y dibalik

• Terhadap garis y = x → tukar x dan y

C. Rotasi (Perputaran)

1. Pengertian Rotasi

Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu bangun terhadap titik pusat tertentu dengan sudut dan arah tertentu (searah atau berlawanan arah jarum jam).

Dalam materi SMP, rotasi biasanya dilakukan terhadap titik pusat O(0,0) dengan sudut:

• 90°

• 180°

• 270°

2. Rumus Rotasi terhadap Titik Pusat (0,0)

Jika titik asal A(x, y), maka bayangannya adalah:

---

3. Contoh Soal Rotasi

Contoh 1:
Titik A(2, 3) diputar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
Rotasi 90° berlawanan jarum jam: (−y, x)
A′ = (−3, 2)

Contoh 2:
Titik B(−4, 1) diputar 180° terhadap O(0,0).

Penyelesaian:
Rotasi 180°: (−x, −y)
B′ = (4, −1)

4. Cara Mudah Rotasi

• 90° CCW (berlawanan jarum jam) → (x, y) → (−y, x)

• 90° CW (searah jarum jam) → (x, y) → (y, −x)

• 180° → (x, y) → (−x, −y)

D. Translasi (Pergeseran)

1. Pengertian Translasi

Translasi adalah transformasi yang memindahkan suatu bangun sejauh dan searah vektor tertentu tanpa mengubah bentuk dan ukuran bangun tersebut.

Contoh:

• Geser gambar ke kanan 3 satuan dan ke atas 2 satuan

2. Rumus Translasi

Jika titik asal A(x, y) ditranslasi oleh vektor (a, b), maka bayangannya adalah:

A′(x + a, y + b)

3. Contoh Soal Translasi

Contoh 1:
Titik A(2, −1) ditranslasi oleh vektor (3, 4). Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
A′ = (2 + 3, −1 + 4) = (5, 3)

Contoh 2:
Titik B(−3, 2) digeser 5 satuan ke kanan dan 1 satuan ke bawah.

Penyelesaian:
Ke kanan 5 → +5 pada x
Ke bawah 1 → −1 pada y
B′ = (−3 + 5, 2 − 1) = (2, 1)

4. Cara Mudah Translasi

• Tambah koordinat x dengan pergeseran horizontal

• Tambah koordinat y dengan pergeseran vertikal

E. Dilatasi (Perbesaran dan Pengecilan)

1. Pengertian Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun (memperbesar atau memperkecil) dengan faktor skala tertentu, tetapi bentuknya tetap sama.

Jika faktor skala:

• k > 1 → bangun diperbesar

• 0 < k < 1 → bangun diperkecil

2. Rumus Dilatasi terhadap Titik Pusat O(0,0)

Jika titik A(x, y) didilatasi dengan faktor skala k, maka bayangannya:

A′(kx, ky)

3. Contoh Soal Dilatasi

Contoh 1:
Titik A(2, 3) didilatasi dengan faktor skala 2 terhadap O(0,0). Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
A′ = (2×2, 3×2) = (4, 6)

Contoh 2:
Titik B(−4, 2) didilatasi dengan faktor skala 1/2 terhadap O(0,0).

Penyelesaian:
B′ = (−4×1/2, 2×1/2) = (−2, 1)

4. Cara Mudah Dilatasi

• Kalikan setiap koordinat dengan faktor skala k

F. Perbandingan Keempat Transformasi

---

G. Cara Mudah Memahami Transformasi Geometri

1. Bayangkan Gerakan Nyata
   Refleksi = bercermin
   Rotasi = memutar
   Translasi = menggeser
   Dilatasi = memperbesar/memperkecil

2. Gunakan Koordinat
   Hitung titik-titik penting bangun, lalu terapkan rumus transformasi.

3. Ingat Pola Rumus

   • Refleksi → ubah tanda atau tukar koordinat

   • Rotasi → tukar posisi dan tanda

   • Translasi → tambah koordinat

   • Dilatasi → kali koordinat

4. Latihan Bertahap
   Mulai dari satu titik, lalu lanjut ke bangun datar.

H. Contoh Soal Campuran dan Pembahasan

Contoh 1

Titik A(3, 2) dicerminkan terhadap sumbu-Y lalu diputar 180° terhadap titik pusat O(0,0). Tentukan koordinat akhirnya.

Penyelesaian:
Refleksi sumbu-Y → A′ = (−3, 2)
Rotasi 180° → A″ = (3, −2)

Contoh 2

Titik B(−2, 4) ditranslasi oleh vektor (3, −1) lalu didilatasi dengan faktor skala 2. Tentukan koordinat akhirnya.

Penyelesaian:
Translasi → B′ = (−2 + 3, 4 − 1) = (1, 3)
Dilatasi → B″ = (2×1, 2×3) = (2, 6)

Contoh 3

Titik C(1, −3) diputar 90° searah jarum jam terhadap O(0,0). Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
Rotasi 90° searah jarum jam: (y, −x)
C′ = (−3, −1)

Contoh 4

Titik D(−4, 2) dicerminkan terhadap garis y = x. Tentukan bayangannya.

Penyelesaian:
Refleksi terhadap y = x → (y, x)
D′ = (2, −4)

I. Latihan Soal

A. Pilihan Ganda

1. Titik A(3, −5) dicerminkan terhadap sumbu-X. Bayangannya adalah …
   A. (−3, −5)
   B. (3, 5)
   C. (−3, 5)
   D. (5, 3)

2. Titik B(2, 4) diputar 180° terhadap O(0,0). Bayangannya adalah …
   A. (2, −4)
   B. (−2, 4)
   C. (−2, −4)
   D. (4, 2)

3. Titik C(−3, 1) ditranslasi oleh vektor (5, −2). Bayangannya adalah …
   A. (2, −1)
   B. (−8, 3)
   C. (−1, 6)
   D. (1, −2)

4. Titik D(4, −2) didilatasi dengan faktor skala 3 terhadap O(0,0). Bayangannya adalah …
   A. (12, −6)
   B. (6, −3)
   C. (−12, 6)
   D. (−6, 3)

5. Titik E(5, 2) dicerminkan terhadap garis y = x. Bayangannya adalah …
   A. (−5, −2)
   B. (2, 5)
   C. (−2, −5)
   D. (5, −2)

B. Isian Singkat

6. Bayangan titik A(2, −7) terhadap sumbu-Y adalah …

7. Bayangan titik B(−3, 4) jika diputar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0) adalah …

8. Titik C(1, 2) ditranslasi oleh vektor (−4, 3). Koordinat bayangannya adalah …

9. Titik D(6, −2) didilatasi dengan faktor skala 1/2 terhadap O(0,0). Bayangannya adalah …

10. Refleksi terhadap garis y = x mengubah titik (x, y) menjadi …

C. Uraian

11. Titik A(3, 1) dicerminkan terhadap sumbu-Y lalu diputar 90° berlawanan arah jarum jam. Tentukan koordinat akhirnya.

12. Titik B(−2, 5) ditranslasi oleh vektor (4, −3) kemudian didilatasi dengan faktor skala 2. Tentukan bayangannya.

13. Titik C(4, −6) diputar 180° terhadap O(0,0). Tentukan hasilnya.

14. Titik D(2, 3) dicerminkan terhadap garis y = x lalu dicerminkan lagi terhadap sumbu-X. Tentukan bayangan akhirnya.

15. Sebuah segitiga memiliki titik A(1, 2), B(3, 2), dan C(2, 4). Tentukan koordinat bayangan segitiga tersebut jika ditranslasi oleh vektor (2, −1).

Kunci Jawaban Singkat

1. B

2. C

3. A

4. A

5. B

6. (−2, −7)

7. (−4, −3)

8. (−3, 5)

9. (3, −1)

10. (y, x)

J. FAQ (Pertanyaan yang Sering Ditanyakan)

1. Apa itu transformasi geometri?

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, atau arah suatu bangun pada bidang datar.

2. Apa saja jenis transformasi geometri?

Refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi.

3. Apakah refleksi mengubah ukuran bangun?

Tidak. Refleksi hanya mengubah posisi dan orientasi.

4. Apa perbedaan rotasi dan translasi?

Rotasi memutar bangun, sedangkan translasi menggeser bangun tanpa memutar.

5. Apa fungsi dilatasi?

Untuk memperbesar atau memperkecil bangun dengan faktor skala tertentu.

6. Kapan rotasi 180° digunakan?

Saat ingin membalik posisi bangun secara simetris terhadap titik pusat.

7. Bagaimana cara cepat refleksi terhadap sumbu-X?

Cukup ubah tanda koordinat y.

8. Bagaimana cara cepat translasi?

Tambahkan koordinat sesuai arah pergeseran.

9. Bagaimana cara cepat dilatasi?

Kalikan setiap koordinat dengan faktor skala.

10. Mengapa transformasi geometri penting?

Karena melatih pemahaman ruang, visualisasi, dan menjadi dasar geometri lanjutan.

baca artikel sebelumnya:

Logika Matematika Dasar